Jan, ich glaube das war der entscheidende Hinweis!
Bei dieser Site war ja gerade die Bedingung, dass Bilder nicht über den Umweg Direktlink geöffnet werden können. Deshalb habe ich in den entsprechenden Ordner eine .htaccess eingebunden, die diesen Link zu einer Fehler-Seite erzeugt. Das Problem ist, dass das eben nur am Originalplatz auf dem Server funktionieren kann. Sobald ich mit der Site umherziehe (lokal oder online) stimmt das natürlich nicht mehr.
Ich habe jetzt die .htaccess vorübergehend umbenannt und die Bilder werden wieder angezeigt. Das Problem scheint also geklärt zu sein. Wie ich das lösen kann, ohne bei Umzügen oder lokalen Spiegelungen jedes Mal den Inhalt der .htaccess zu ändern - darüber muss ich mal in aller Ruhe nachdenken.
Klar ist mir jetzt auch, warum die Bilder nicht angezeigt werden, obwohl diese ja - zwar woanders aber - da sind. Dieser Link wird eben offensichtlich auch als Direktaufruf aufgefasst.
Jedenfalls scheint die Ursache jetzt geklärt. Nochmals vielen Dank!